Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2

Sn

-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

an+2

2n

，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：

3

2

≤T_n＜5；
（3）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)任意滿足成等差數(shù)列的三個(gè)不等正整數(shù)m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：證明題,綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S_n與a_n的關(guān)系證明；
（2）利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列{b_n}求和，然后進(jìn)行放縮即可得出結(jié)論；
（3）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)放縮證明即可．

解答： 解：（1）由a_n=2

Sn

-1得
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，且a₁=2

S1

-1，∴a₁=1---------1分
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，故S_n-S_n-1=2

Sn

-1，得(

Sn

-1)2=S_n-1，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴

Sn

-1=

Sn-1

即

Sn

-

Sn-1

=1
∴{

Sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．----------4分
∴

Sn

=n，S_n=n²
∴a_n=2

Sn

-1=2n-1．---------------------------5分
（2）∵b_n=

an+2

2n

=

2n+1

2n

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n-1

2n-1

+

2n+1

2n

∴2T_n=3+

5

2

+

7

22

+…+

2n-1

2n-2

+

2n+1

2n-1

∴兩式相減得T_n=3+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n+1

2n

=3+

1[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n+1

2n

=5-

2n+5

2n

------8分
∵n∈N^*，∴T_n=5-

2n+5

2n

＜5
∵b_n=

an+2

2n

＞0，∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n≥b₁=

3

2

∴

3

2

≤T_n＜5．--------------------------------------------10分
（3）∵不等正整數(shù)m，k，n是等差數(shù)列，
∴m+n=2k，
∴c＜

Sm+Sn

Sk

=

m2+n2

k2

------------------------------------11分
又

m2+n2

k2

=

4(m2+n2)

(m+n)2

＞

2(m2+n2+2mn)

m2+n2+2mn

=2，
∴c≤2
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為（-∞，2]．-------------------------------14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式及求和的方法以及利用數(shù)列與不等式的關(guān)系，綜合處理問(wèn)題的能力．