Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若對(duì)任意，恒成立，求的取值集合；

（2）設(shè)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為求證: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）令，求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（2）由點(diǎn)，點(diǎn)，求得，根據(jù)（1）求得，進(jìn)而作出證明.

（1）由題意，函數(shù)，

令，則，

若時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即，不符合題意；

若時(shí)，令，解得，令，解得，

所以在上遞增，在上遞減，

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，

要使得對(duì)任意，恒成立，只需，

令，可得，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，所以，

即，可得，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值集合為.

（2）由題意知，點(diǎn)，點(diǎn)，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，

所以，所以，

所以，

而

，

所以.