Question

已知θ∈（-

π

6

，

π

6

），等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄=

3

9

tan33θ，若數(shù)列{a_n}的前2014項的和為0，則θ的值為

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的前n項和,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，利用數(shù)列{a_n}的前2014項的和為0，確定公比的取值，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄=

3

9

tan33θ，
則a₄=

3

9

tan33θ=1•q³，
即q=

tan3θ

3

，
若數(shù)列{a_n}的前2014項的和為0，
若q=1，則不滿足條件，
若q≠1，則

1-q2014

1-q

=0，即q=-1，
即q=

tan3θ

3

=-1，
∴tan3θ=-

3

，
∵θ∈（-

π

6

，

π

6

），
∴3θ∈（-

π

2

，

π

2

），即3θ=-

π

3

，
即θ=-

π

9

，
故答案為：-

π

9

點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．