Question

將函數y=f′（x）cosx的圖象向左平移

π

4

個單位，得到函數y=1-2sin²x的圖象，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,導數的運算

專題：三角函數的圖像與性質

分析：先將函數y=f′（x）cosx的圖象向左平移

π

4

個單位使其等于y=1-2sin²x，然后根據二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡整理可求得到f′（x+

π

4

）的關系式，再由平移的知識得到f′（x）的解析式，最后根據微積分的知識得到函數f（x）的解析式．

解答： 解：將函數y=f′（x）cosx的圖象向左平移

π

4

個單位得到y(tǒng)=1-2sin²x，
又因為f′（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=f′（x+

π

4

）×

2

2

（cosx-sinx）
=1-2sin²x=cos2x=cos²x-sin²x，
∴f′（x+

π

4

）=

2

（cosx+sinx）=2sin（x+

π

4

），
∴f′（x）=2sinx，∴f（x）=-2cosx，
故答案為：-2cosx．

點評：本題主要考查三角函數的平移、二倍角公式、兩角和與差的正弦公式和微積分的有關知識，考查綜合運用能力，屬于基礎題．