Question

下面有4個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，2^x+

1

2x

的最小值為2；
②若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=

3

x，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為2；
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，可得到函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，則△ABC的外接圓半徑r=

a2+b2

2

；類比到空間，若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為a、b、c，則三棱錐S-ABC的外接球的半徑R=

a2+b2+c2

2

．
其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為

 

 （把你認(rèn)為錯(cuò)誤命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型

分析：①令2^x=t（t＞1），運(yùn)用基本不等式即可判斷，注意等號(hào)成立的條件；
②運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，得到b=

3

a，再由拋物線的焦點(diǎn)得到c=2，再由a，b，c的關(guān)系得到a=1，從而判斷正確性；
③由三角函數(shù)的圖象平移規(guī)律，得到函數(shù)y=cos2（x-

π

6

）的圖象，運(yùn)用誘導(dǎo)公式即可得到y(tǒng)=sin（2x+

π

6

）的圖象，從而判斷③；
④可將圖形補(bǔ)成以SA，SB，SC為相鄰的邊的長(zhǎng)方體，運(yùn)用長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為外接球的直徑，即可判斷．

解答： 解：①當(dāng)x＞0時(shí)，令2^x=t（t＞1），2^x+

1

2x

=t+

1

t

＞2，故無最小值，故①錯(cuò)；
②由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=

3

x，得到b=

3

a，其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)重合，即c=2，又a²+b²=c²=4，故a=1，則雙曲線的離心率為2，故②正確；
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)y=cos2（x-

π

6

）=cos（2x-

π

3

），即y=sin（2x+

π

6

）的圖象，故③錯(cuò)；
④若三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)度分別為a、b、c，則構(gòu)造以S為頂點(diǎn)，SA，SB，SC為長(zhǎng)方體的相鄰的三條棱，其外接球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即R=

a2+b2+c2

2

，故④正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假為載體，考查基本不等式的運(yùn)用、雙曲線的幾何性質(zhì)、三角函數(shù)圖象的平移、類比思想，屬于綜合題．