Question

14．過點$P（-\sqrt{3}，0）$作直線l與圓O：x²+y²=1交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)∠AOB=θ，且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，當(dāng)△AOB的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$時，直線l的斜率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $±\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)△AOB的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求出θ=$\frac{π}{3}$，可得圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出直線l的斜率．

解答 解：∵△AOB的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×1×1×$sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
∴圓心到直線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)直線方程為y=k（x+$\sqrt{3}$），即kx-y+$\sqrt{3}$k=0，
∴$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：B．

點評 此題考查學(xué)生掌握直線與圓相交的性質(zhì)，靈活運(yùn)用點到直線的距離公式化簡求值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．