Question

已知函數(shù)f（x）=

2

2x+ 2

（Ⅰ）計算f（

1

2

+x）+f（

1

2

-x）的值
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式：f[2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+

1

2

]＜

2

2

在區(qū)間[1，2]上有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的解析式直接計算f（

1

2

+x）+f（

1

2

-x）的值
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性姜不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

2

2x+ 2

，
∴f（1-x）+f（x）=

2

21-x+ 2

+

2

2x+ 2

=

2•2x

2+ 2 •2x

+

2

2x+ 2

=

2•2x

2+ 2 •2x

+

2 2

2+ 2 •2x

=

2 (2+ 2 •2x)

2+ 2 •2x

=

2

∴f（

1

2

+x）+f（

1

2

-x）=

2

．
（Ⅱ）f（x）=

2

2x+ 2

=1-

2

2 +2x

，故f（x）在實數(shù)集上是單調(diào)遞增函數(shù)，
由（Ⅰ），令x=0，得f（

1

2

）=

2

2

，
原不等式即為f[2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+

1

2

]＜f（

1

2

），
即2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）+

1

2

＜

1

2

，
則2^3x-2^-x+m（2^x-2^-x）＜0，
即m＜-1-4^x，x∈[1，2]，
∵-1-4^x的最大值為-5，
∴m＜-5．

點評：本題主要考查函數(shù)值的計算，以及不等式恒成立問題，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．