Question

設(shè)f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定義域．
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

3

2

]上的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=2，求出a的值，由對數(shù)的真數(shù)大于0，求得x的取值范圍，即得定義域；
（2）化簡f（x），考查f（x）在區(qū)間[0，

3

2

]上的單調(diào)性，求出最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），
∴f（1）=log_a2+log_a2=2log_a2=2，
∴a=2；
∴f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x），
∴

1+x＞0 3-x＞0

，
解得-1＜x＜3；
∴f（x）的定義域是（-1，3）．
（2）∵f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂（1+x）（3-x）=log₂[-（x-1）²+4]，
且x∈（-1，3）；
∴當(dāng)x=1時，f（x）在區(qū)間[0，

3

2

]上取得最大值，是log₂4=2．

點評：本題考查了求函數(shù)的定義域和在閉區(qū)間上的最值問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式，求出定義域，根據(jù)定義域求出最值，是基礎(chǔ)題．