Question

已知cos

π

3

=

1

2

，cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

，cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

，…
（1）根據(jù)以上等式，猜想出一般的結(jié)論是

 

；
（2）若數(shù)列{a_n}中，a₁=cos

π

3

，a₂=cos

π

5

cos

2π

5

，a₃=cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

，…的前n項(xiàng)和S_n=

1023

1024

，則n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由前三項(xiàng)總結(jié)規(guī)律，由此合理猜想，能求出一般結(jié)論．
（2）由（1）{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此能求出n的值．

解答： 解：（1）∵cos

π

3

=

1

2

，
cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

=

1

22

，
cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

8

=

1

23

，…，
∴猜想：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

3π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

．
（2）數(shù)列{a_n}中，a₁=cos

π

3

=

1

2

，
a₂=cos

π

5

cos

2π

5

=

1

22

，
a₃=cos

π

7

cos

2π

7

cos

3π

7

=

1

23

，…，
∵{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1023

1024

，
∴

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1023

1024

，
解得n=10．
故答案為：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

3π

2n+1

…cos

nπ

2n+1

=

1

2n

，10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一般結(jié)論的猜想，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)n的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用．