若無窮數列滿足:①對任意,;②存在常數,對任意,,則稱數列為“數列”.
(Ⅰ)若數列的通項為,證明:數列為“數列”;
(Ⅱ)若數列的各項均為正整數,且數列為“數列”,證明:對任意,;
(Ⅲ)若數列的各項均為正整數,且數列為“數列”,證明:存在,數列為等差數列.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析
解析試題分析:(Ⅰ)用作差法證,用單調性證。(Ⅱ)用反證法證明。即假設存在正整數,使得。根據和結合放縮法推倒論證得出與已知各項均為正整數相矛盾,則說明假設不成立即原命題成立。(Ⅲ)由(Ⅱ)知,需分和兩種情況討論,結合已知推理論證,根據等差的定義可證得存在 ,數列為等差數列.本題的關鍵是當可變形得,再用累加法表示,即,根據進行推理論證。
試題解析:(Ⅰ)證明:由,可得,,
所以,
所以對任意,.
又數列為遞減數列,所以對任意,.
所以數列為“數列”. 5分
(Ⅱ)證明:假設存在正整數,使得.
由數列的各項均為正整數,可得.
由,可得.
且.
同理,
依此類推,可得,對任意,有.
因為為正整數,設,則.
在中,設,則.
與數列的各項均為正整數矛盾.
所以,對任意,. 10分
(Ⅲ)因為數列為“數列”,
所以,存在常數,對任意,.
設.
由(Ⅱ)可知,對任意,,
則.
若,則;若,則.
而時,有.
所以,,,,中最多有個大于或等于,
否則與矛盾.
所以,存在,對任意的,有
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
對于數列,把作為新數列的第一項,把或()作為新數列的第項,數列稱為數列的一個生成數列.例如,數列的一個生成數列是.已知數列為數列的生成數列,為數列的前項和.
(1)寫出的所有可能值;
(2)若生成數列滿足,求數列的通項公式;
(3)證明:對于給定的,的所有可能值組成的集合為.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
設數列{an}的前n項和為Sn,且,n=1,2,3
(1)求a1,a2;
(2)求Sn與Sn﹣1(n≥2)的關系式,并證明數列{}是等差數列;
(3)求S1•S2•S3 S2011•S2012的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
[2014·河北教學質量監(jiān)測]已知數列{an}滿足:a1=1,an+1= (n∈N*).若bn+1=(n-λ)(+1)(n∈N*),b1=-λ,且數列{bn}是單調遞增數列,則實數λ的取值范圍為( )
A.λ>2 | B.λ>3 | C.λ<2 | D.λ<3 |
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