Question

13．已知冪函數(shù)$f（x）=（{n^2}-2n+2）•{x^{{m^2}-2m-3}}$（m∈N，m≥2）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則f（x）=x^-3．

Answer 1

分析 根據(jù)冪函數(shù)的定義求出n的值，再根據(jù)f（x）的單調(diào)性求出m的值，即得f（x）的解析式．

解答 解：∴冪函數(shù)$f（x）=（{n^2}-2n+2）•{x^{{m^2}-2m-3}}$（m∈N，m≥2）為奇函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-2n+2=1}\\{{m}^{2}-2m-3為奇數(shù)}\end{array}\right.$，
解得n=1；
又f（x）=${x}^{{m}^{2}-2m-3}$在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3，又m∈N，m≥2
∴m=2；
∴f（x）=x^-3．
故選：x^-3．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了冪函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．