Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

+m的圖象過點（

5π

6

，0）．
（Ⅰ）求實數(shù)m值以及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)y=f（x）的圖象與x軸、y軸及直線x=t（0＜t＜

2π

3

）所圍成的曲邊四邊形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)S（t）的解析式．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦和余弦公式降冪，化為y=sin(x+

π

6

)+

1

2

+m的形式，把點（

5π

6

，0）代入函數(shù)解析式求得m的值，再代入函數(shù)解析式后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中所求函數(shù)f（x）求0到t上的積分，即求被積函數(shù)f（x）的原函數(shù)，代入積分上限和下限后作差得答案．

解答： 解：（I）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

+m
=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

+m
=sin(x+

π

6

)+

1

2

+m．
∵f（x）的圖象過點（

5π

6

，0），
∴sin(

5π

6

+

π

6

)+

1

2

+m=0，解得m=-

1

2

．
∴f（x）=sin(x+

π

6

)，
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由（I）得，f（x）=

3

2

sinx+

1

2

cosx．
∴S

=∫

t 0

(

3

2

sinx+

1

2

cosx)dx=(-

3

2

cosx+

1

2

sinx)

|

t 0

=(-

3

2

cost+

1

2

sint)-(-

3

2

cos0+

1

2

sin0)=sin(t-

π

3

)+

3

2

．
∴S(t)=sin(t-

π

3

)+

3

2

（0＜t＜

2π

3

）．

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及定積分等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．