Question

已知點(diǎn)（1，2）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列{a_n}前30項(xiàng)中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第3k項(xiàng)刪去，求數(shù)列{a_n}前30項(xiàng)中剩余項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，可求得得a=2，從而可得S_n=2ⁿ-1，于是可求得a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1可求得a_n，驗(yàn)證后，能合則合，不合則分，即可；
（2）由（1）可知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求得數(shù)列{a_n}前30項(xiàng)和，再減去第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第3k項(xiàng)的和即可．

解答： 解：（1）把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)f（x）=a^x，得a=2．
∴Sn=f(n)-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=21-1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
經(jīng)驗(yàn)證可知n=1時(shí)，也適合上式，
∴an=2n-1．
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為2，
故其第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第30項(xiàng)也為等比數(shù)列，首項(xiàng)a3=23-1=4，公比2³=8，a₃₀為其第10項(xiàng)
∴此數(shù)列的和為

4(1-810)

1-8

=

4(230-1)

7

，
又?jǐn)?shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和為S30=

1×(1-230)

1-2

=230-1，
∴所求剩余項(xiàng)的和為(230-1)-

4(230-1)

7

=

3(230-1)

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的求和，考查先總后分的解決方法，考查轉(zhuǎn)化思想與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．