【題目】已知四棱錐中,底面為直角梯形,平面,且,,.

1)求證:平面平面;

2)若與平面所成的角為,求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)證明:取的中點,連接,,.根據(jù)平面幾何知識和線面垂直的判定可證得平面,再證得,可證明平面平面.

2)由線面角的定義可得與平面所成的角,再以點為坐標(biāo)原點,分別以,所在直線為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,由二面角的向量求解方法可求得二面角的余弦值.

解:(1)證明:取的中點,連接,.

,∴.

又∵,,∴四邊形為正方形,則.

平面,平面,∴.

,∴平面.

,,∴四邊形為平行四邊形,∴,

平面.平面

∴平面平面.

2)∵平面,∴與平面所成的角,

,則.

設(shè),則,.

以點為坐標(biāo)原點,分別以,,所在直線為,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,,,.

平面,∴平面的一個法向量.

設(shè)平面的法向量,∵,

,取,則.

設(shè)二面角的平面角為,∴.

由圖可知二面角為銳角,故二面角的余弦值為.

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上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費(fèi)

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:

出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計值;

(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計值.

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【題目】如圖所示,在四棱錐中,四邊形為矩形,為等腰三角形,,平面平面,且,,,分別為的中點.

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2)證明:平面平面;

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【題目】已知函數(shù).

1)若上存在極大值,求的取值范圍;

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【題目】某苗木基地常年供應(yīng)多種規(guī)格的優(yōu)質(zhì)樹苗.為更好地銷售樹苗,建設(shè)生態(tài)文明家鄉(xiāng)和美好家園,基地積極主動地聯(lián)系了甲、乙、丙三家公司,假定基地得到公司甲、乙、丙的購買合同的概率分別、、,且基地是否得到三家公司的購買合同是相互獨(dú)立的.

1)若公司甲計劃與基地簽訂300棵銀杏實生苗的銷售合同,每棵銀杏實生苗的價格為90元,栽種后,每棵樹苗當(dāng)年的成活率都為0.9,對當(dāng)年沒有成活的樹苗,第二年需再補(bǔ)種1.現(xiàn)公司甲為苗木基地提供了兩種售后方案,

方案一:公司甲購買300棵銀杏樹苗后,基地需提供一年一次,共計兩年的補(bǔ)種服務(wù),且每次補(bǔ)種人工及運(yùn)輸費(fèi)用平均為800元;

方案二:公司甲購買300棵銀杏樹苗后,基地一次性地多給公司甲60棵樹苗,后期的移栽培育工作由公司甲自行負(fù)責(zé).

若基地首次運(yùn)送方案一的300棵樹苗及方案二的360棵樹苗的運(yùn)費(fèi)及栽種費(fèi)用合計都為1600元,試估算兩種方案下苗木基地的合同收益分別是多少?

2)記為該基地得到三家公司購買合同的個數(shù),若,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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