Question

5．已知圓C₁：x²+y²=r²與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）于x軸的交點(diǎn)重合，且橢圓C₂的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓C₁上的點(diǎn)到直線l：x=-2$\sqrt{2}$的最短距離為2$\sqrt{2}$-2．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）如圖過直線1上的動(dòng)點(diǎn)T作圓C₁的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A、B，若直線AB與橢圓C₂交于不同的兩點(diǎn)C、D，求△OCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和直線和圓的位置關(guān)系，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）圓C₁的方程為x²+y²=4，設(shè)直線x=-2$\sqrt{2}$上的動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$，t），（t∈R），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線AT的方程為x₁x+y₁y=4，直線BT的方程為x₂x+y₂y=4，直線AB的方程為-2$\sqrt{2}$x+ty=2，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式可得O到直線AB的距離，再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，運(yùn)用三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，r=a，
且2$\sqrt{2}$-a=2$\sqrt{2}$-2，a²-b²=c²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）圓C₁的方程為x²+y²=4，
設(shè)直線x=-2$\sqrt{2}$上的動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{2}$，t），（t∈R），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線AT的方程為x₁x+y₁y=4，
直線BT的方程為x₂x+y₂y=4，
又T（-2$\sqrt{2}$，t）在直線AT和BT上，即 $\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{x}_{1}+t{y}_{1}=4}\\{-2\sqrt{2}{x}_{2}+t{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的方程為-2$\sqrt{2}$x+ty=4，
由原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=$\frac{4}{\sqrt{8+{t}^{2}}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}x+ty=4}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去x，得（t²+16）y²-8ty-16=0，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則y₃+y₄=$\frac{8t}{{t}^{2}+16}$，y₃y₄=-$\frac{16}{{t}^{2}+16}$，
從而|CD|=$\sqrt{1+\frac{{t}^{2}}{8}}$|y₃-y₄|=$\frac{1}{4}$$\sqrt{16+2{t}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{8t}{16+{t}^{2}}）^{2}+\frac{64}{{t}^{2}+16}}$=$\frac{4（8+{t}^{2}）}{16+{t}^{2}}$，
則△OCD面積為S=$\frac{1}{2}$d•|CD|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{\sqrt{8+{t}^{2}}}$•$\frac{4（8+{t}^{2}）}{16+{t}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{8+{t}^{2}}}{16+{t}^{2}}$，
令$\sqrt{8+{t}^{2}}$=m（m≥2$\sqrt{2}$），即有S=$\frac{8m}{8+{m}^{2}}$=$\frac{8}{m+\frac{8}{m}}$≤$\frac{8}{2\sqrt{m•\frac{8}{m}}}$=$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{8}{m}$，可得m=2$\sqrt{2}$，△OCD的面積取得最大值$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和直線和圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積的最大值的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及基本不等式求得最值，屬于中檔題．