Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+3}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）證明：{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$a_na_n+1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知可得數(shù)列遞推式${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，取倒數(shù)后構(gòu)造等比數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$a_na_n+1，整理后利用裂項(xiàng)相消法求S_n，放縮得答案．

解答 證明：（1）由已知${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，取倒數(shù)得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，
變形得$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}=3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}是首項(xiàng)為$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比為3的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}•{3}^{n-1}=\frac{1}{2}•{3}^{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}-1}$；
（2）b_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$a_na_n+1 =$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$（\frac{1}{{3}^{1}-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）+（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）+…+（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．