Question

已知f（x）=sin

x

2

+cos

x

2

，若存在x₁，x₂∈R，使得任意x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，且兩邊等號能取到，則|x₁-x₂|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：創(chuàng)新題型

分析：這是一個恒成立問題，把它轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題解決，要求函數(shù)的最值，需先把f（x）化成標(biāo)準(zhǔn)形式．

解答： 解：∵f（x）=

2

sin(

x

2

+

π

4

)，
∴函數(shù)f（x）最小值為-

2

，最大值為

2

．
∵存在x₁，x₂∈R，使得任意x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，
∴f(x1)=-

2

，f(x2)=

2

∵當(dāng)

x

2

+

π

4

=-

π

2

+2kπ，即x=-

3π

2

+4kπ，（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取最小值-

2

，
 當(dāng)

x

2

+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

π

2

+4kπ，（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取最大值

2

，
∴|x₁-x₂|的最小值為2π．
故答案為：2π

點評：本題通過恒成立問題題考查了函數(shù)的最值，關(guān)鍵是把這個恒成立問題能夠轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．在求函數(shù)最值時要注意把函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式．