Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象的相鄰兩對稱中心的距離為π，且f（x+

π

2

）=f（-x），則函數(shù)y=f（

π

4

-x）是（　�。�

• A、偶函數(shù)且在x=0處取得最大值
• B、偶函數(shù)且在x=0處取得最小值
• C、奇函數(shù)且在x=0處取得最大值
• D、奇函數(shù)且在x=0處取得最小值

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意求得半周期，進一步得到周期，再由周期公式求得ω，然后結(jié)合f（x+

π

2

）=f（-x）求φ，得到函數(shù)f（x）的解析式，取x=

π

4

-x得到y(tǒng)=f（

π

4

-x）的解析式，則答案可求．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象的相鄰兩對稱中心的距離為π，
即

T

2

=π，
∴T=2π，于是ω=

2π

2π

=1．
∴f（x）=Asin（x+φ）；
由f（x+

π

2

）=f（-x），得：Asin（x+

π

2

+φ）=Asin（-x+φ），
∴x+

π

2

+φ-x+φ=π+2kπ，即φ=

π

4

+kπ，k∈Z．
取k=0，得φ=

π

4

，
∴f（x）=Asin（x+

π

4

），
則y=f（

π

4

-x）=Asin（

π

4

-x+

π

4

）=Acosx，A＞0，
∴函數(shù)y=f（

π

4

-x）是偶函數(shù)且在x=0處取得最大值．
故選：A．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，由f（x+

π

2

）=f（-x）求得φ是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．