Question

設(shè)函f（x）=xe^kx（k≠0）
（1）求曲y=f（x）在（0，f（0））出的切線方程．
（2）求函f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間即可；

解答： 解：（1）f′（x）=（1+kx）e^kx，f′（0）=1，f（0）=0，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x；
（2）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得x=-

1

k

（k≠0），
①若k＞0，則當(dāng)x∈（-∞，-

1

k

）時，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（-

1

k

，+∞）時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
②若k＜0，則當(dāng)x∈（-∞，-

1

k

）時，
f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-

1

k

，+∞）時，
f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
綜上可知，當(dāng)k＞0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-

1

k

，+∞），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

1

k

）；
當(dāng)k＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

1

k

），函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

k

，+∞）．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線的斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及分類討論思想．