Question

18．已知橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點F₁，F(xiàn)₂，點P是曲線C₁與C₂的一個交點，并且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分別是橢圓和雙曲線的離心率，則4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由題設中的條件，設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，根據橢圓和雙曲線的性質以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，再利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90°，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③得a²+m²=2c²，可得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
∴4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$）（4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{{{e}_{2}}^{2}}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{4{{e}_{1}}^{2}}{{{e}_{2}}^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點三角形中用勾弦定理建立三個方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關系式，解決本題的關鍵是根據所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．