Question

18．已知橢圓C₁與雙曲線C₂的公共焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是曲線C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)，并且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分別是橢圓和雙曲線的離心率，則4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，再利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=90°，故|PF₁|²+|PF₂|²=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
將④代入③得a²+m²=2c²，可得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
∴4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$）（4e${\;}_{1}^{2}$+e${\;}_{2}^{2}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{{{e}_{2}}^{2}}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{4{{e}_{1}}^{2}}{{{e}_{2}}^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個(gè)方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．