Question

17．已知曲線E上的任意一點(diǎn)到F₁（0，-$\sqrt{3}$）和點(diǎn)F₂（0，$\sqrt{3}$）的距離之和為4．
（1）求曲線E的方程
（2）已知點(diǎn)A（0，2），C（1，0），設(shè)直線y=kx（k＞0）與曲線E交于B，D兩點(diǎn)（B在第一象限）．求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的定義和a，b，c的關(guān)系，可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求出直線AC的方程，將直線y=kx（k＞0）與曲線E聯(lián)立，求得B，D的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求得B，D到直線AC的距離，再由三角形的面積公式結(jié)合基本不等式，即可求得四邊形ABCD的面積的最大值．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知，曲線E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=4，即a=2，
c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
即有曲線E的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（2）連接AC，直線AC：x+$\frac{y}{2}$=1，即2x+y-2=0，
由y=kx代入橢圓方程可得，x=$±\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，
即有B（$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$），D（-$\frac{2}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$），
B到AC的距離為d₁=$\frac{|\frac{4}{\sqrt{4+{k}^{2}}}+\frac{2k}{\sqrt{4+{k}^{2}}}-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2|2+k-\sqrt{4+{k}^{2}}|}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{k}^{2}}}$，
D到AC的距離為d₂=$\frac{2|2+k+\sqrt{4+{k}^{2}}|}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{k}^{2}}}$．
則四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$|AC|•（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{5}$•$\frac{4（2+k）}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{k}^{2}}}$
=$\frac{2（2+k）}{\sqrt{4+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1+\frac{4}{k+\frac{4}{k}}}$≤2$\sqrt{1+\frac{4}{2\sqrt{4}}}$=2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)k=2取得等號．
即四邊形ABCD面積的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程和直線方程聯(lián)立求交點(diǎn)，同時考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．