Question

已知直線l：mx+y-2（m+1）=0與曲線C：y=

1-x2

．
（Ⅰ）若直線l與直線l₁：2x-y+1=0垂直，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若直線l與曲線C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）利用兩條直線垂直，斜率之積等于-1，計(jì)算即可；
（Ⅱ）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，．當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，直線與曲線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)的直線距離公式和切線的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的斜率k₁=-m，
直線l₁的斜率k₂=2，且k₁•k₂=-1
∴m=

1

2

（Ⅱ）∵方程y=

1-x2

可化為x²+y²=1（y≥0）
∴曲線C是単位圓的上半圓．
又∵方程mx+y-2（m+1）=0可化為y-2=-m（x-2）
∴直線l恒過定點(diǎn)（2，2）．
當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，
由圓心到直線的距離等于半徑可知

|2m+2|

1+m2

=1⇒3m2+8m+3=0⇒m=

-4± 7

3

經(jīng)檢驗(yàn)知m=

-4+ 7

3

，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，
代入直線方程可得，m=-

2

3

∴m∈[-

2

3

，

-4+ 7

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與直線垂直的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系、相切的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能．