Question

已知f（x）=

1

x+1

各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₄=a₂₀₁₂，則a₂₀+a₁₁=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意求得a₂₀₁₂，即可得出當n為偶數(shù)時，a_n=

5 -1

2

，求得a₂₀，又由遞推法可以求得a₁₁的值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意得
a_n+2=f（a_n）=

1

an+1

，又a₂₀₁₄=a₂₀₁₂，
∴

1

a2012+1

=a₂₀₁₂，解得a₂₀₁₂=

5 -1

2

，
∴由a_n+2=

1

an+1

得，a_n=

1-an+2

an+2

，
∴當a_n+2=

5 -1

2

時，a_n=

5 -1

2

，
∴當n為偶數(shù)時，a_n=

5 -1

2

，即a₂₀=

5 -1

2

，
又a₁=1，∴a₃=f（a₁）=

1

2

，a₅=f（

1

2

）=

2

3

，a₇=f（

2

3

）=

3

5

，a₉=（

3

5

）=

5

8

，a₁₁=f（

5

8

）=

8

13

，
∴a₂₀+a₁₁=

5 -1

2

+

8

13

=

13 5 +3

26

．

點評：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的運用能力及運算求解能力，屬中檔題．