Question

如圖所示，在矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=4

3

，將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點(diǎn)B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的兩端點(diǎn)M、N分別位于邊AB、BC上，記sin∠MNB=x，線段MN的長度為F（x），則函數(shù)y=F（x）的圖象大致為（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點(diǎn)B落在矩形的邊AD邊E上，則△MNE≌△MNB，EM=BM，由∠MNB=θ，MN=l．由AB=6cm，我們可得EM+AM=6，然后將EM與BM分別用含θ的式子表示，代入即可得到l表示成θ的函數(shù)的解析式．進(jìn)而得到函數(shù)y=F（x）的解析式，分析出函數(shù)的圖象形狀．

解答： 解：由題設(shè)，如圖所示，△NBM≌△NEM，∠MNB=θ，MN=l，
∴∠AEM=90°-2θ，則MB=lsinθ，AM=l•sinθsin（90°-2θ），
由題設(shè)得：AM+MB=lsinθ+l•sinθsin（90°-2θ）=6，
從而得l=

6

sinθ+sinθ•sin(90°-2θ)

=

6

sinθ+sinθ•cos2θ

=

6

sinθ+sinθ•(1-2sin2θ)

，
∵sin∠MNB=sinθ=x，
∴y=F（x）=

6

x+x•(1-2x2)

又由BM=

3

1-x2

≤6，BN=

3

x 1-x2

≤4

3

得：x∈[

1

2

，

2

2

]，
又由F′（x）=

12(3x2-1)

(-2x3+2x)

，
當(dāng)x∈[

1

2

，

3

3

]時(shí)，F(xiàn)′（x）≤0，此時(shí)F（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈[

3

3

，

2

2

]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，此時(shí)F（x）為增函數(shù)，
比較四個(gè)答案中的圖象，可知A符合，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域和函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性可，運(yùn)算量大，屬于難題．