Question

【題目】函數(shù),則在的最大值（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】f′(x)=x2kx=x(2k)，

令f′(x)=0得x=0或x=ln2k，

令g(k)=kln2k,則g′(k)=1<0

∴g(k)在(,1]上是減函數(shù),∴g(k)g(1)=1ln2>0，

∴k>ln2k，

∴f(x)在[0,ln2k]上單調(diào)遞減,在(ln2k,k]上單調(diào)遞增，

∴f(x)的最大值為f(0)或f(k).

f(k)f(0)=(k1)ekk3+1=(k1)(ekk2k1)，

令h(x)=ekk2k1,則h′(k)=ek2k1,h′′(k)=ek2，

令h″(k)=0得k=ln2，

∴h′(k)在(,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,1]上單調(diào)遞增，

∵h′()=2<0,h′(1)=e3<0，

∴h′(k)<0在(,1]上恒成立，

∴h(k)在(,1]上是減函數(shù),∴h(k)<h()=<0，

∴f(k)f(0)，

∴f(x)的最大值為f(k)=(k1)ekk3，

故選D.

方法	步驟
單調(diào)性法	先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值
圖象法	先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值
基本不等式法	先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值
導數(shù)法	先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值
換元法	對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值