Question

設(shè)f（x）=ax²+2bx+c，若5a+4b+c=0，f（-1）•f（1）＜0，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）．
（1）求證：方程f（x）=0必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂，且

4

3

＜x₁+x₂＜4；
（2）若c=0，a_n＞0，且互不相等正整數(shù)p，q，n，使得p+q=2n，求證：S_pS_q＜S_n²．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知中f（-1）•f（1）＜0，先證明a≠0，再證明方程f（x）=0必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂，進(jìn)而綜合韋達(dá)定理及二次不等式的解法，可證得方程f（x）=0必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂，且

4

3

＜x₁+x₂＜4；
（2）若c=0，可得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，可證得S_pS_q＜S_n²．

解答： 證明：（1）∵f（x）=ax²+2bx+c，f（-1）•f（1）＜0，5a+4b+c=0，
即（a-2b+c）（a+2b+c）=4（2a+3b）（2a+b）＜0
故a≠0
∵f（2）=4a+4b+c=-a，
若a＞0，則函數(shù)f（x）圖象開口朝上，此時(shí)f（2）＜0
若a＜0，則函數(shù)f（x）圖象開口朝下，此時(shí)f（2）＞0
故函數(shù)f（x）必有兩個(gè)零點(diǎn)
即方程f（x）=0必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁、x₂，
又由f（-1）•f（1）＜0，即4（2a+3b）（2a+b）＜0得
（

b

a

+2）（3•

b

a

+2）＜0，
∴-2＜

b

a

＜-

2

3

，
∴

4

3

＜x₁+x₂=-2•

b

a

＜4；
（2）∵c=0，
∴S_n=ax²+2bx
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
又∵p+q=2n，
∴S_pS_q=

1

2

p（a₁+a_p）•

1

2

p（a₁+a_q）
=

1

4

pq•[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]
=

1

4

pq•[a₁²+2a₁a_n+a_pa_q]
＜

1

4

（

p+q

2

）²•[a₁²+2a₁a_n+（

ap+aq

2

）²]
=

1

4

n²•[a₁²+2a₁a_n+a_n²]
=[

1

2

（a₁+a_n）]²=S_n²．
即S_pS_q＜S_n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，二次不等式的解法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，是函數(shù)，不等式，數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度較大．