Question

設(shè)正整數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}（n∈N^*） 滿足a₄=4，a_n²-a_n-1a_n+1=1（n≥2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出{a_n}，n∈N^*是正整數(shù)的無窮增數(shù)列，由a₄=4知，a₁=1，a₂=2，a₃=3．于是由{a_n}的遞推公式及數(shù)學(xué)歸納法知a_n=n，n∈N^*．

解答： 解：由已知得

an

an+1

＞

an-1

an

，
若有某個n，使

an-1

an

≥1，則a_n＞a_n+1，
從而a_n-1≥a_n＞a_n+1＞a_n+2＞…，這顯然不可能，
因為{a_n}，n∈N^*是正整數(shù)的無窮數(shù)列．
故數(shù)列{a_n}中的項是嚴格遞增的．
從而由a₄=4知，a₁=1，a₂=2，a₃=3．
假設(shè)a_n=n，n∈N^*，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=4時，a₄=4成立．
②假設(shè)n=k時，等式成立，
∵a_n²-a_n-1a_n+1=1（n≥2），
∴a_k²-a_k-1a_k+1=1（k≥2），
即k²-（k+1）（k+1）=1，
當(dāng)n=k+1時，
a_k+1²-a_ka_k+2=（k+1）²-k（k+2）=1也成立，
∴a_n=n．
顯然數(shù)列{n}，n∈N^*滿足要求，
故所求的正整數(shù)無窮數(shù)列為{n}，n≥1．

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．