Question

已知雙曲線

x2

16

-

y2

25

=1的左焦點(diǎn)為F₁，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且PF₁與圓x²+y²=16相切于點(diǎn)N，M為線段PF₁的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|-|MO|的值為（　�。�

• A、2
• B、-1
• C、1
• D、-2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，作出圖形，點(diǎn)P在雙曲線右支上，利用雙曲線的定義，可知，|PF₁|-|PF₂|=2a=8，|MF₁|-|OM|=

1

2

|PF₁|-

1

2

|PF₂|=4，轉(zhuǎn)化后計(jì)算可得|MN|-|OM|=1，從而得到答案．

解答： 解：依題意，作圖如圖：
由雙曲線方程

x2

16

-

y2

25

=1知，a²=16，b²=25，
∴c²=a²+b²=16+25=41，
依題意知，|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
∵點(diǎn)M為線段PF₁的中點(diǎn)，O為F₁F₂的中點(diǎn)，
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，|MF₁|=

1

2

|PF₁|，
∴|MF₁|-|OM|=

1

2

|PF₁|-

1

2

|PF₂|=4，①
又在直角△NF₁O中，|ON|=4，|OF₁|=c=

41

，
∴|NF₁|=

( 41 )2-42

=5，②
而|MF₁|-|NF₁|=|MN|，
∴|MN|+5-|OM|=4．
∴|MN|-|OM|=4-5=-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，考查三角形的中位線定理與勾股定理的應(yīng)用，考查分析轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．