Question

在極坐標系中，定點A（2，

π

2

），點B在直線ρcosθ+

3

ρsinθ=0上運動，則線段AB的最短長度為

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：將直線ρcosθ+

3

ρsinθ=0化為一般方程，再利用線段AB最短可知直線AB與已知直線垂直，設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立方程求出B的坐標，從而求解．

解答： 解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直線ρcosθ+

3

ρsinθ=0，
可得x+

3

y=0…①，
∵在極坐標系中，定點A（2，

π

2

），
∴在直角坐標系中，定點A（0，2），
∵動點B在直線x+

3

y=0上運動，
∴當線段AB最短時，直線AB垂直于直線x+

3

y=0，
∴k_AB=

3

，
設(shè)直線AB為：y-2=

3

x，即y=

3

x+2…②，
聯(lián)立方程①②求得交點B（-

3

2

，

1

2

），
∴|AB|=

( 3 2 )2+(2- 1 2 )2

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：此題主要考查極坐標與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，是一道基礎(chǔ)題，注意極坐標與一般方程的關(guān)系：ρ=

x2+y2

，tanθ=

y

x

，x=ρcosθ，y=ρsinθ．