Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

（n∈N^* ）
（1）設(shè)b_n=

2n

an

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

1

n(n+1)an+1

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，不等式

1

4

m²-

1

4

m＞S_n對(duì)一切n∈N^*成立，求m得范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出b_n=

2n

an

，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出c_n=

1

n(n+1)an+1

，利用累加法，即可求出{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

2n+1an

(n+ 1 2 )an+2n

，
∴

an+1

2n+1

=

an

(n+ 1 2 )an+2n

，
取倒數(shù)得

2n+1

an+1

=

(n+ 1 2 )an+2n

an

=

2n

an

+n+

1

2

，
即b_n+1-b_n=n+

1

2

，
則b₂-b₁=1+

1

2

，
b₃-b₂=2+

1

2

，
…
b_n-b_n-1=（n-1）+

1

2

，
累加得b_n=

n2+1

2

．
（2）c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)2n+2

=

n2+2(n+1)

n(n+1)2n+2

=

n

(n+1)2n+2

+

1

n•2n+1

=

1

2n+2

+（

1

n•2n+1

-

1

(n+1)•2n+2

），
故S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1 8 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

1

4

-

1

(n+1)•2n+2

=

1

2

-（

1

2n+2

+

1

(n+1)•2n+2

）＜

1

2

，
故：

1

4

m²-

1

4

m≥

1

2

．
則m≥2或m≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．