Question

已知函數(shù)f（x）滿足ax•f（x）=b+f（x）（ab≠0），f（1）=2且f（x+2）=-f（2-x）對定義域中任意x都成立，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式； 
（2）若正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]2，求證{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,等差數(shù)列

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）可先寫出f（x）=

b

ax-1

，由反比例函數(shù)的對稱中心，求出f（x）的對稱中心，再由條件f（x+2）=-f（2-x）得中心為（2，0），得到a=

1

2

，再由f（1）=2，求出b即可；
（2）先化簡S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]2，將n換為n-1，將兩式相減，并分解因式得到：2（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），根據(jù)a_n＞0推出a_n-a_n-1=2，再令n=1，求出n=1時a₁的值，從而得證．

解答： 解：（1）∵ax•f（x）=b+f（x）（ab≠0），
∴f（x）=

b

ax-1

，
∵f（x）=

k

x

（k≠0）圖象的對稱中心為（0，0），
∴f（x）=

b

ax-1

的對稱中心為（

1

a

，0），
又f（x+2）=-f（2-x）即f（x+2）+f（2-x）=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱，
即

1

a

=2，a=

1

2

，
又f（1）=2，即b=2（a-1）=2×（-

1

2

）=-1，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

2

2-x

；
（2）證明：∵S_n=

1

4

[3-

2

f(an)

]2=

1

4

[3-

2

2 2-an

]²=

1

4

（a_n+1）²，①
∴當n＞1時，S_n-1=

1

4

（a_n-1+1）²②
①-②得，S_n-S_n-1=

1

4

（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1+2），
即4a_n=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）+2（a_n-a_n-1），
即2（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又a₁=s₁=

1

4

（a₁+1）2，解得a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的對稱性，考查數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，以及等差數(shù)列的證明，注意運用定義，這是一道綜合題．