Question

5．已知在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為兩焦點(diǎn)．
（1）若PF₁⊥PF₂，求△F₁PF₂的面積及P的坐標(biāo)；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積及P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂ 的坐標(biāo)，Rt△PF₁F₂中，由勾股定理及雙曲線的定義得|PF₁|•|PF₂ |=18，從而求得△PF₁F₂面積$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂ |的值．
（2）△PF₁F₂中，由余弦定理及雙曲線的定義得|PF₁|•|PF₂ |=36，從而求得△PF₁F₂面積的值．

解答 解：（1）由題意得，a=4，b=3，c=5，∴F₁（-5，0 ）、F₂（5，0），
Rt△PF₁F₂中，由勾股定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²=（|PF₁ |-|PF₂|）²+2•|PF₁|•|PF₂ |=4a²+2•|PF₁|•|PF₂ |，
∴100=4×16+2•|PF₁|•|PF₂ |，∴|PF₁|•|PF₂ |=18，
∴△PF₁F₂面積為$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂ |=9．
設(shè)P（x，y），則$\frac{1}{2}×10×|y|$=9，∴|y|=$\frac{9}{5}$，∴|x|=$\frac{4}{5}\sqrt{34}$
∴P（$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，$\frac{9}{5}$）或P（$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，-$\frac{9}{5}$）或P（-$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，$\frac{9}{5}$）或P（-$\frac{4}{5}\sqrt{34}$，-$\frac{9}{5}$）；
（2）△PF₁F₂中，由余弦定理得4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-•|PF₁|•|PF₂ |=（|PF₁ |-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂ |=4a²+|PF₁|•|PF₂ |，
∴100=4×16+|PF₁|•|PF₂ |，∴|PF₁|•|PF₂ |=36，
∴△PF₁F₂面積為$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂ |$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
設(shè)P（x，y），則$\frac{1}{2}×10×|y|$=9$\sqrt{3}$，∴|y|=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$，∴|x|=$\frac{8}{5}\sqrt{13}$．
∴P（$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）或P（$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，-$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）或P（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）或P（-$\frac{8}{5}\sqrt{13}$，-$\frac{9\sqrt{3}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出|PF₁|•|PF₂ |的值是解題的關(guān)鍵．