Question

8．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線交于點D．若D到直線BC的距離小于a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設(shè)D（x，0），則由BD⊥AB得$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-x}•\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，求出c-x，利用D到直線BC的距離小于a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，A（a，0），B（c，$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），由雙曲線的對稱性知D在x軸上，
設(shè)D（x，0），則由BD⊥AC得-$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-x}•\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
∴c-x=-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$，
∵D到直線BC的距離小于a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
∴c-x=|-$\frac{^{4}}{{a}^{2}（a-c）}$|＜a+$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
∴$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$＜c²-a²=b²，
∴0＜$\frac{a}$＜1，
∵e=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
∴1＜e＜$\sqrt{2}$
∴雙曲線的離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定D到直線BC的距離是關(guān)鍵．