Question

14．已知下列命題
①b²=ac，則a，b，c成等比數(shù)列；
②若{a_n}為等差數(shù)列，且常數(shù)c＞0，則數(shù)列{c^a_n}為等比數(shù)列；
③若{a_n}為等比數(shù)列，且常數(shù)c＞0，則數(shù)列{c^a_n}為等比數(shù)列；
④常數(shù)列既為等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．
其中，真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 在①中，當(dāng)b=c=0時，a，b，c不成等比數(shù)列；在②中，$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}+d}}{{c}^{{a}_{n}}}$=cd，數(shù)列{c^a_n}為等比數(shù)列；在③中，$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}q}}{{c}^{{a}_{n}}}$${c}^{{a}_{n}q-{a}_{n}}$不是常數(shù)，數(shù)列{c^a_n}不為等比數(shù)列；在④中，由0構(gòu)成的常數(shù)列為等差數(shù)列，不是等比數(shù)列．

解答 解：在①中，b²=ac，當(dāng)b=c=0時，a，b，c不成等比數(shù)列，故①錯誤；
②若{a_n}為等差數(shù)列，且常數(shù)c＞0，則$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}+d}}{{c}^{{a}_{n}}}$=c^d，
∴數(shù)列{c^a_n}為等比數(shù)列，故②正確；
③若{a_n}為等比數(shù)列，且常數(shù)c＞0，則$\frac{{c}^{{a}_{n+1}}}{{c}^{{a}_{n}}}$=$\frac{{c}^{{a}_{n}q}}{{c}^{{a}_{n}}}$${c}^{{a}_{n}q-{a}_{n}}$不是常數(shù)，
∴等比數(shù)列的性質(zhì)得數(shù)列{c^a_n}不為等比數(shù)列，故③錯誤；
④由0構(gòu)成的常數(shù)列為等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故④錯誤．
故選：A．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．