Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^kx（k∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）在（-∞，-

2

]和[

2

，+∞）上遞增，在[-

2

，

2

]上遞減．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=e^kx[kx²+（2-2k）x-2]．g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）上的函數(shù)值恒大于零，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)韋達(dá)定理求出k=1．
（Ⅱ）根據(jù)m的取值進(jìn)行分類討論，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）對函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^kx求導(dǎo)，得
f′（x）=e^kx[kx²+（2-2k）x-2]．（2分）
∵函數(shù)f（x）在（-∞，-

2

]和[

2

，+∞）上遞增，
在[-

2

，

2

]上遞減．而e^kx＞0．
∴g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）上的函數(shù)值恒大于零，（3分）
g（x）=kx²+（2-2k）x-2在（

2

-，

2

）上函數(shù)值恒小于零．（4分）
∴不等式kx²+（2-2k）x-2＞0的解集為
（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）（5分）
∴k＞0，且x=±

2

是方程kx²+（2-2k）x-2=0的兩個(gè)解．（6分）
根據(jù)韋達(dá)定理得，k=1．（7分）
（Ⅱ）①當(dāng)0＜m≤

2

時(shí)，∵f（x）在[-

2

，

2

]上遞減，
∴f（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為f（0）=0，
f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為f（m）=（m²-2m）e^m．（9分）
②當(dāng)

2

＜m≤2時(shí)，
∵f（x）在[-

2

，

2

]上遞減，f（x）在[

2

，+∞）上遞增，且f（0）=f（2）=0，
∴f（x）在[0，m]上的最大值為f（0）=0，
f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為f（

2

）=（2-2

2

）e 

2

（12分）
③當(dāng)m＞2時(shí)，∵f（x）在[-

2

，

2

]上遞減，
f（x）在[

2

，+∞）上遞增，且f（m）＞0=f（0），
∴f（x）在[0，m]上的最大值為f（m）=（m²-2m）e^m，
f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為f（

2

）=（2-2

2

）e 

2

．（15分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．