Question

已知一元二次方程x²-ax+1=0（a∈R），
（1）若x=

3

4

+

7

4

i是方程的根，求a的值；
（2）若x₁，x₂是方程兩個虛根，且|x₁-1|＞|x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用實系數(shù)方程虛根成對，求出a．
（2）利用復(fù)數(shù)方程，求出x₁，x₂兩個虛根，通過復(fù)數(shù)的模求解即可．

解答： 解：（1）已知一元二次方程x²-ax+1=0（a∈R），
若x=

3

4

+

7

4

i是方程的根，則x=

3

4

-

7

4

i也是方程的根．
（

3

4

+

7

4

i）+（

3

4

-

7

4

i）=

a

2

，解得a=

3

4

．
（2）x₁，x₂是方程x²-ax+1=0兩個虛根，不妨x₁=

a- 4-a2 i

2

，x₂=

a+ 4-a2 i

2

，a∈（-2，2）
|x₁-1|＞|x₂|，
∴(

a

2

-1)2+(-

4-a2

2

)2＞(

a

2

)2+(

4-a

2

)2，
∴a＜1，
綜上，-2＜a＜1．

點評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式混合運算，復(fù)數(shù)方程的求法模的運算，考查計算能力．