Question

13．設二次函數(shù)f（x）=-ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）滿足條件：①當x∈R時，f（x-4）=f（2-x）；②當x∈（0，2）時，x≤f（x）≤$（\frac{x+1}{2}）^{2}$；③f（x）在R上的最小值為0，求函數(shù) f（x）的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得二次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱；f（1）=1；f（-1）=0，構(gòu)造方程解出a，b，c值，可得函數(shù) f（x）的解析式．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=-ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）滿足條件：
①當x∈R時，f（x-4）=f（2-x），即函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-1對稱；
②當x∈（0，2）時，x≤f（x）≤$（\frac{x+1}{2}）^{2}$，即x=1時，1≤f（1）≤1，即f（1）=1；
③f（x）在R上的最小值為0，故f（-1）=0，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{2a}=-1\\-a+b+c=1\\-a-b+c=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．