Question

【題目】已知為偶函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值，并寫出在區(qū)間上的增減性和值域（不需要證明）；

（2）令，其中，若對任意、，總有，求的取值范圍；

（3）令，若對任意、，總有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），在上是增函數(shù)，值域為；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用偶函數(shù)的定義，作差變形可求出，結(jié)合函數(shù)的解析式寫出該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性得出函數(shù)在該區(qū)間上的值域；

（2）由題意得出，且，換元，構(gòu)造函數(shù)，由可得出二次函數(shù)的對稱軸，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值和最小值，結(jié)合不等式求出實數(shù)的取值范圍；

（3）由可得出，求出不等式右邊代數(shù)式的取值范圍，可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)為偶函數(shù)，則，

即，

由題意知，對任意的，恒成立，則，，

，該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域為；

（2）由題意知，，且，

設(shè)，，則，且，

設(shè)函數(shù)，則，二次函數(shù)的對稱軸為直線.

，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，，

，解得，

，，因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3），

，

，

由，

可得，

，

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，

，，又，，

所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.