Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G．設(shè)AB=2AA₁=2a，EF=a，B₁E=2B₁F．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得到幾何體A₁ABFE-D₁DCGH和EB₁F-HC₁G是等高的五棱柱和三棱柱，
根據(jù)柱體的體積公式可得幾何體EB₁F-GC₁H的體積等于長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁體積的

1

10

，
由此利用幾何概型計(jì)算公式即可算出所求的概率．

解答： 解：因?yàn)镋H∥A₁D₁，則EH∥B₁C₁，所以EH∥平面B₁C₁CB，
過EH的平面與平面B₁C₁CB交于FG，則EH∥FG，
所以易證明幾何體A₁ABFE-D₁DCGH和EB₁F-HC₁G是等高的五棱柱和三棱柱，
由于在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AA₁=2a，EF=a，B₁E=2B₁F，
則B₁E=

2 5

5

，B₁F=

5

5

．
由幾何概型可知，長方體內(nèi)任一點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為：
P=1-

V三棱柱

V

=1-

S△EB1F

S矩形ABB1A1

=1-

1 2 • 5 5 a• 2 5 5 a

2a2

=

9

10

．
故答案為：

9

10

．

點(diǎn)評：本題著重考查了正方體的性質(zhì)、柱體體積公式和幾何概型及其應(yīng)用等知識，屬于中檔題．