Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知角A為銳角，且sin²A=4sinBsinC=(

sinB+sinC

m

)2，則實(shí)數(shù)m范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：由正弦定理把已知的等式化角的關(guān)系為邊的關(guān)系，得到4m2=

(b+c)2

bc

，再由角A為銳角得到其余弦值大于0小于1，由此求得4bc＜b²+c²＜6bc，進(jìn)一步配方得到6＜

(b+c)2

bc

＜8，則4m²的范圍可求，實(shí)數(shù)m的范圍可求．

解答： 解：∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
又sin²A=4sinBsinC=(

sinB+sinC

m

)2，
∴a2=4bc=

(b+c)2

m2

，
∴4m2=

(b+c)2

bc

，
又角A為銳角，
∴0＜cosA=

b2+c2-a2

2bc

＜1，
∴0＜

b2+c2-4bc

2bc

＜1，
∴4bc＜b²+c²＜6bc，
則6bc＜（b+c）²＜8bc，即6＜

(b+c)2

bc

＜8，
∴6＜4m²＜8，
解得：-

2

＜m＜-

6

2

或

6

2

＜m＜

2

．
故答案為：(-

2

，-

6

2

)∪(

6

2

，

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了利用三角形中的邊和角的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍，解答此題的關(guān)鍵是由角A為銳角求得不等式4bc＜b²+c²＜6bc，是中檔題．