Question

函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x-1）=f（x+1），且x∈[-1，1]時，f（x）=|x|，函數(shù)g（x）=

sinπx(x＞0) - 1 x   (x＜0)

，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]上的零點個數(shù)為（　�。�

• A、10
• B、9
• C、8
• D、7

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由f（x-1）=f（x+1），得足f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），分別作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可判斷函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
由h（x）=f（x）-g（x）=0，
得f（x）=g（x），
∵x∈[-1，1]時，f（x）=|x|，函數(shù)g（x）=

sinπx(x＞0) - 1 x   (x＜0)

，
∴分別作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，
由圖象可知兩個函數(shù)在區(qū)間[-5，5]上的交點個數(shù)為9個，
即函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[-5，5]上的零點個數(shù)為9個．
故選：B

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．