Question

20．已知圓P過(guò)點(diǎn)A（1，0），且圓心P（a，2）（a≠0）到直線m：4x-3y+1=0的距離為1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心且交點(diǎn)落在y軸上的橢圓Ω的離心率與直線2$\sqrt{2}$x-2y+3=0的斜率互為倒數(shù)，過(guò)點(diǎn)A作一條不與x軸垂直的直線l與橢圓Ω交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求直線m被圓P所截得的弦長(zhǎng)；
（2）若B（4，0），x軸恰為∠CBD的角平分線，求橢圓Ω的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由圓心到直線的距離列式求出圓的圓心坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離求出圓的半徑，由圓的半徑、弦心距和弦長(zhǎng)間的關(guān)系求得直線m被圓P所截得的弦長(zhǎng)；
（2）求直線的斜率，得到橢圓的離心率，進(jìn)一步得到橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)的關(guān)系，得到橢圓方程，設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x軸恰好為∠CBD的角平分線列式求得b，則橢圓方程可求．

解答 解：（1）由題意可知，$\frac{|4a-6+1|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}=1$，解得a=$\frac{5}{2}$，
∴圓心坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}，2$），則半徑為$\sqrt{（\frac{5}{2}-1）^{2}+{2}^{2}}=\frac{5}{2}$，
∴圓P的標(biāo)準(zhǔn)方程為$（x-\frac{5}{2}）^{2}+（y-2）^{2}=\frac{25}{4}$，
則直線m被圓P所截得的弦長(zhǎng)為$2×\sqrt{\frac{25}{4}-1}=2×\frac{\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}$；
（2）由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵直線2$\sqrt{2}$x-2y+3=0的斜率為$\sqrt{2}$，∴橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，則a²=2b²．
∴橢圓方程為2x²+y²=2b²．
如圖，
設(shè)過(guò)A的直線l的方程為y-0=k（x-1），即y=kx-k．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-x}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$，得（2+k²）x²-2k²x+k²-2b²=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{k}^{2}-2^{2}}{{k}^{2}+2}$，
由x軸恰好為∠CBD的角平分線，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-4}=-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$，即2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=0．
∴$\frac{2{k}^{2}-4^{2}}{{k}^{2}+2}-\frac{10{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$+8=0，即b²=4．
∴橢圓Ω方程為：$\frac{{y}^{2}}{8}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題