Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|≤

π

2

），它的一個最高點為（

8

3

，1）以及相鄰的一個零點是

14

3

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）-2cos²

π

8

x+1，x∈[

2

3

，2]的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由

1

4

T=2⇒T=8，繼而可得ω；由

8

3

ω+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），|φ|≤

π

2

，可求得φ，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的恒等變換可求得g（x）=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），

2

3

≤x≤2⇒-

π

6

≤

π

4

x-

π

3

≤

π

6

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得x∈[

2

3

，2]時y=g（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵

1

4

T=

14

3

-

8

3

=2，
∴T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

；
又

8

3

ω+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z．
∴φ=2kπ-

π

6

，k∈Z．
又|φ|≤

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=sin（

π

4

x-

π

6

）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y=g（x）=sin（

π

4

x-

π

6

）-2cos²

π

8

x+1
=

3

2

sin

π

4

x-

1

2

cos

π

4

x-cos

π

4

x
=

3

（

1

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x）
=

3

sin（

π

4

x-

π

3

），
當(dāng)

2

3

≤x≤2時，-

π

6

≤

π

4

x-

π

3

≤

π

6

，
∴-

1

2

≤sin（

π

4

x-

π

3

）≤

1

2

，
∴-

3

2

≤

3

sin（

π

4

x-

π

3

）≤

3

2

．
∴y=g（x）的值域為[-

3

2

，

3

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，著重考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的確定及正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．