Question

已知{a_n}是整數(shù)組成的數(shù)列，a=1，且點(diǎn)（

an

，an+1）（n∈N^*）在函數(shù)y=

1

3

x3+x的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足bn=

1

anan+1

（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求導(dǎo)數(shù)y′，然后代入點(diǎn)（

an

，an+1）得數(shù)列遞推式，由遞推式可判斷該數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求a_n，進(jìn)而得到b_n，利用裂項(xiàng)相消法可求得S_n．

解答： 解：y′=x²+1，
因?yàn)辄c(diǎn)（

an

，an+1）在導(dǎo)函數(shù)圖象上，所以有a_n+1=a_n+1，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，
所以a_n=n，
所以bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案為：

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力