Question

如圖所示，GH是一條東西方向的公路，現(xiàn)準(zhǔn)備在點(diǎn)B的正北方向的點(diǎn)A處建一倉(cāng)庫(kù)，設(shè)AB=y千米，并在公路旁邊建造邊長(zhǎng)為x千米的正方形無(wú)頂中轉(zhuǎn)站CDEF（其中邊EF在公路GH上），現(xiàn)向公路和中轉(zhuǎn)站分別修兩條簡(jiǎn)易公路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）如果中轉(zhuǎn)站四周?chē)鷫υ靸r(jià)為l0萬(wàn)元/千米，公路造價(jià)為30萬(wàn)元/千米，問(wèn)x取何值時(shí)，建中轉(zhuǎn)站和道路總造價(jià)M最低．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出BC，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）確定建中轉(zhuǎn)站和道路總造價(jià)解析式，利用換元法，結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵AB=y，AB=AC+1，∴AC=y-1．
在直角三角形BCF中，∵CF=x，∠ABC=60°，
∴∠CBF=30°，BC=2x．
由于2x+y-1＞y，得x＞

1

2

．
在△ABC中，∵AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°，
∴（y-1）²=y²+4x²-2xy
∴y=

4x2-1

2(x-1)

∵y＞0，x＞

1

2

，∴x＞1
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=

4x2-1

2(x-1)

(x＞1)；
（2）M=30（2y-1）+40x=10(

12x2-3

x-1

-3+4x)
令x-1=t，則M=10（16t+

9

t

+25）≥490
當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

4

，x=

7

4

，y=

15

2

時(shí)，總造價(jià)M最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式，考查函數(shù)的最值，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．