Question

如圖，在半徑為4，圓心角為變量2θ（0＜θ＜2π）的扇形OAB內(nèi)作一內(nèi)切圓P，再在扇形內(nèi)作一個(gè)與扇形兩半徑相內(nèi)切并與圓P外切的小圓Q，記圓Q的半徑為y．
（1）試將y表示成θ的函數(shù)；
（2）求圓Q的半徑y(tǒng)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓P的半徑為x，圓Q的半徑為y，圓P切OA于E，連結(jié)PE，將y表示成θ的函數(shù)．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•

t2-t

(1+t)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出圓Q的半徑的最大值為

1

2

，此時(shí)sinθ=

1

3

．

解答： 解：（1）設(shè)圓P的半徑為x，圓Q的半徑為y，
圓P切OA于E，連結(jié)PE，
則sinθ=

x

4-x

，∴x=

4sinθ

1+sinθ

，
同理，得y=

sinθ

1+sinθ

（4-2x）=

4sinθ(1-sinθ)

(1+sinθ)2

，
∴y=

4sinθ(1-sinθ)

(1+sinθ)2

．
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，y=4•

t2-t

(1+t)2

，
則y′=4•

1-3t

(1+t)3

，
令y′=0，則t=

1

3

，
0＜t＜

1

3

時(shí)，y′＞0；

1

3

＜t＜1時(shí)，y′＜0．
∴當(dāng)t=

1

3

時(shí)，y_極大值=y_max，
∴圓Q的半徑的最大值為

1

2

，此時(shí)sinθ=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的求法，考查圓的半徑的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．