Question

已知命題p：方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，命題q：實(shí)數(shù)m滿足e^m＜a，且￢q是￢p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別求出命題￢q和￢p的等價(jià)條件，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵命題p：方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴命題￢p：方程mx²+（m-3）x+1=0在（0，+∞）沒有實(shí)數(shù)根，
若m=0，則方程為3x=1，此時(shí)x=

1

3

，不滿足條件，
若m≠0，設(shè)f（x）=mx²+（m-3）x+1，
∵f（0）=1＞0，
∴m＞0，
①若判別式△=（m-3）²-4m＜0，即此時(shí)1＜m＜9，成立，
②若判別式△=（m-3）²-4m≥0，即m≥9或0＜m≤1時(shí)，
對稱軸滿足x=-

m-3

2m

≤0，即m（m-3）≥0，則m≥3，
此時(shí)m≥9，
綜上m＞1．
∵命題q：實(shí)數(shù)m滿足e^m＜a，
∴命題￢q：實(shí)數(shù)m滿足e^m≥a，
∵￢q是￢p的必要不充分條件，
∴當(dāng)m≥9，e^m≥a成立，
則a≤e⁹，
故a的取值范圍是a≤e⁹．

點(diǎn)評：本題主要考查命題充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．