Question

已知⊙O與⊙C：x²+y²-6y+8=0相切于點(diǎn)M（0，2），且經(jīng)過點(diǎn)N（2，0）．
（1）求⊙O的方程；
（2）若直線L：y=kx-（k+1）截⊙O兩點(diǎn)弧長之比為3：1，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓的圓心與半徑，即可求⊙O的方程；
（2）通過直線L：y=kx-（k+1）截⊙O兩點(diǎn)弧長之比為3：1，利用圓心到直線的距離半徑半弦長的關(guān)系，列出方程即可求實(shí)數(shù)k的值．

解答： 解：（1）⊙O與⊙C：x²+y²-6y+8=0相切于點(diǎn)M（0，2），且經(jīng)過點(diǎn)N（2，0）．x²+y²-6y+8=0的圓心（0，3），半徑為：1，設(shè)所求圓的圓心位于y軸，因?yàn)閨OM|=|ON|，所以O(shè)為所求圓的圓心半徑為2，
⊙O的方程：x²+y²=4．
（2）直線y=kx-（k+1）恒過（1，-1），
若直線L：y=kx-（k+1）截⊙O兩點(diǎn)弧長之比為3：1，
所以直線與圓的交點(diǎn)劣弧的圓心距為90°，圓心到直線的距離為：

2

2

×2=

2

，
∴

|k+1|

1+k2

=

2

解得：k=1．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．