Question

已知函數f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若x0∈[0，

π

2

]且f(x0)=2，求x₀的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用和與差的三角函數公式，結合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡，整理得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，再根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，即可得到f（x）的最大值和最小正周期；
（2）由由（1）的解析式，得sin（2x₀+

π

6

）=

1

2

，可得2x₀+

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

（k∈Z），再結合已知條件x₀∈[0，

π

2

]，即可得出x₀的值．

解答： 解：（1）∵sin（2x+

π

6

）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x，
cos（2x-

2π

3

）=cos2xcos

2π

3

+sin2xsin

2π

3

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)+2cos2x
=（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）+（1+cos2x）
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴f（x）的最大值為2+1=3，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）的解析式，得f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）+1=2
∴sin（2x₀+

π

6

）=

1

2

，可得2x₀+

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，（k∈Z）
∵x₀∈[0，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當2x₀+

π

6

=

π

6

時，x₀=0；當2x₀+

π

6

=

5π

6

時，x₀=

π

3

．
綜上所述，x₀的值為0或

π

3

．

點評：本題給出三角函數表達式，求函數的最值、周期，并求特殊函數值對應的自變量，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質的知識，屬于中檔題．