Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）求證：CN∥平面AMD；
（2）求面AMN與面NBC所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由正方形對邊平行可得BC∥AD，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到BC∥平面AMD，由線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，可得MD∥NB，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到NB∥平面AMD，由面面平行的判定定理得到平面BNC∥平面AMD后，再由面面平行的性質(zhì)得到CN∥平面AMD；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DM分別為x，y，z軸建立圖示空間直角坐標(biāo)系，求出平面AMN的一個(gè)法向量和平面NBC的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得面AMN與面NBC所成二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD是正方形，BC∥AD，
又∵BC?平面AMD，AD?平面AMD
∴BC∥平面AMD；（2分）
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB，
又∵M(jìn)D?平面AMD，NB?平面AMD
∴NB∥平面AMD，（4分）
又∵NB∩BC=B，NB，BC?平面BNC
所以平面BNC∥平面AMD，
又∵CN?平面BNC
故CN∥平面AMD；（5分）
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DM分別為x，y，z軸建立圖示空間直角坐標(biāo)系，則：
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．N （1，1，1），M （0，0，1），

AM

=(-1，0，1)，

AM

=(0，1，1)，

AB

=(0，1，0)（6分）
設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)，
由

AM • n =0 AN • n =0

得：

-x+z=0 y+z=0

（7分）
令z=1得：

n

=(1，-1，1)．（8分）
易知：

AB

=(0，1，0)是平面NBC的一個(gè)法向量．
故cos?

AB

，

n

＞=

-1

3

=-

3

3

（9分）
∴面AMN與面NBC所成二面角的余弦值為

3

3

（10分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，二面角的平面角及求法，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握線線平行，線面平行及面面平行之間的相互轉(zhuǎn)化，（2）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．